Che cos’è una funzione?

Una funzione è una corrispondenza che a ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio. Quindi non può lasciare elementi senza immagine e non può dare due valori diversi allo stesso elemento di partenza. È questo il primo significato preciso da saper dire.

Che differenza c’è tra dominio e codominio?

Il dominio è l’insieme di partenza, cioè i valori che posso dare in ingresso alla funzione. Il codominio è l’insieme dei valori possibili in uscita, mentre l’immagine è l’insieme dei valori che la funzione assume davvero. Non sono la stessa cosa.

Quando una funzione è iniettiva?

Una funzione è iniettiva se a immagini diverse corrispondono sempre elementi diversi del dominio. In pratica, due punti distinti non possono avere la stessa immagine. Sul grafico significa che ogni retta orizzontale incontra il grafico al massimo una volta.

Quando una funzione è suriettiva?

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Quindi la funzione ‘copre tutto’ il codominio. Bisogna però ricordare che questo dipende dal codominio scelto.

Quando una funzione è biiettiva?

Una funzione è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso ogni elemento del dominio corrisponde a uno e un solo elemento del codominio, e viceversa. Solo una funzione biiettiva ammette inversa nel senso più semplice del programma.

Che cosa vuol dire che una funzione è pari o dispari?

Una funzione è pari se il valore in meno x è uguale al valore in x, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. È dispari se il valore in meno x è l’opposto del valore in x, quindi il grafico ha simmetria rispetto all’origine. Queste proprietà si controllano solo se il dominio è simmetrico rispetto a zero.

Che cosa significa che una funzione è crescente o decrescente?

Una funzione è crescente se, aumentando x, aumentano anche i valori della funzione. È decrescente se, aumentando x, i valori della funzione diminuiscono. Questo si legge bene dal grafico guardando l’andamento da sinistra verso destra.

Che cos’è la composizione di due funzioni?

La composizione consiste nel prendere il risultato della prima funzione e usarlo come input della seconda. Si scrive prima una funzione e poi l’altra, ma la lettura vera è dall’interno verso l’esterno. Non sempre è possibile: bisogna controllare che i valori prodotti dalla prima appartengano al dominio della seconda.

Quando esiste l’inversa di una funzione?

L’inversa esiste se la funzione è biiettiva, perché così ogni valore di arrivo corrisponde a uno e un solo valore di partenza. L’inversa scambia il ruolo di dominio e codominio e, dal punto di vista grafico, il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta che biseca il primo quadrante. È un modo per ‘annullare’ l’effetto della funzione iniziale.

Quali trasformazioni del grafico devi saper riconoscere?

Devi saper riconoscere traslazioni, simmetrie e dilatazioni. Una traslazione sposta il grafico, una simmetria lo ribalta rispetto a un asse o all’origine, e una dilatazione lo allarga o lo stringe. L’idea importante è che la forma generale resta, ma cambia la posizione o la scala.

Come capisci dal grafico se una funzione è iniettiva o se può avere inversa?

Dal grafico controlli se ogni retta orizzontale incontra il grafico al massimo una volta: se sì, la funzione è iniettiva. Se inoltre il grafico copre tutto il codominio scelto, allora è biiettiva e quindi ha inversa. Questo criterio visivo è molto utile nelle verifiche.

Come colleghi le funzioni al calcolo e alla geometria analitica?

Le funzioni sono il linguaggio con cui descrivi le curve nel piano cartesiano, quindi servono per studiare rette, parabole e altri grafici. In geometria analitica leggi il comportamento della curva come funzione di x, mentre nel calcolo analizzi variazioni, simmetrie e composizioni. È un argomento di base che poi torna in molti temi successivi.

Da dove parto se mi interrogano sulle funzioni?

Parti dalla definizione, poi passa a dominio e codominio, e solo dopo alle proprietà e al grafico.

Cosa devo ripassare se ho poco tempo?

Ripassa bene definizione, dominio, iniettiva-suriettiva-biiettiva, pari e dispari, e il criterio grafico della retta orizzontale.

Come posso collegare le funzioni ad altri argomenti?

Puoi collegarle ai grafici di geometria analitica, alle equazioni e alle disequazioni, oppure alle relazioni tra grandezze in fisica.

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Domande d'interrogazione sulle funzioni: le 12 che escono davvero (con le risposte)

Di solito qui il prof vuole vedere se sai dire cos’è una funzione e se sai leggere bene il suo grafico. Poi ti chiede di distinguere dominio, codominio, iniettiva, suriettiva, biiettiva, e di spiegare anche composizione, inversa e trasformazioni del grafico.

In due minuti: Una funzione è una regola che a ogni elemento del dominio associa uno e un solo valore nel codominio. Per studiarla devi capire dove è definita, cioè il dominio, e come si comporta: se è iniettiva, suriettiva o biiettiva, se è pari o dispari, e se cresce o decresce. Un altro passaggio importante è saper comporre due funzioni e capire quando esiste l’inversa. Infine devi leggere le trasformazioni del grafico, come traslazioni, simmetrie e dilatazioni, perché cambiano la posizione o la forma senza cambiare l’idea di funzione.

I termini che il prof si aspetta: funzione · dominio · codominio · immagine · iniettiva · suriettiva · biiettiva · pari · dispari · composizione · inversa · grafico.

Le domande che il prof fa davvero

Che cos’è una funzione?

Una funzione è una corrispondenza che a ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio. Quindi non può lasciare elementi senza immagine e non può dare due valori diversi allo stesso elemento di partenza. È questo il primo significato preciso da saper dire.

Cosa vuole sentire: Vuole una definizione corretta con l’idea di unicità dell’associazione. Errore tipico: Dire soltanto che è una relazione tra due insiemi, senza spiegare che ogni elemento del dominio ha una sola immagine.
Che differenza c’è tra dominio e codominio?

Il dominio è l’insieme di partenza, cioè i valori che posso dare in ingresso alla funzione. Il codominio è l’insieme dei valori possibili in uscita, mentre l’immagine è l’insieme dei valori che la funzione assume davvero. Non sono la stessa cosa.

Cosa vuole sentire: Vuole che tu distingua bene ingresso, insieme di arrivo e valori effettivamente ottenuti. Errore tipico: Confondere codominio e immagine, oppure dire che dominio e codominio coincidono sempre.
Quando una funzione è iniettiva?

Una funzione è iniettiva se a immagini diverse corrispondono sempre elementi diversi del dominio. In pratica, due punti distinti non possono avere la stessa immagine. Sul grafico significa che ogni retta orizzontale incontra il grafico al massimo una volta.

Cosa vuole sentire: Vuole la definizione e il criterio grafico. Errore tipico: Dire che è iniettiva quando ‘non si ripete niente’, senza spiegare bene il legame tra valori diversi e immagini diverse.
Quando una funzione è suriettiva?

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Quindi la funzione ‘copre tutto’ il codominio. Bisogna però ricordare che questo dipende dal codominio scelto.

Cosa vuole sentire: Vuole che tu colleghi la suriettività al fatto di coprire tutto il codominio. Errore tipico: Dire che è suriettiva solo perché il grafico è continuo o perché assume tanti valori.
Quando una funzione è biiettiva?

Una funzione è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso ogni elemento del dominio corrisponde a uno e un solo elemento del codominio, e viceversa. Solo una funzione biiettiva ammette inversa nel senso più semplice del programma.

Cosa vuole sentire: Vuole il legame tra biiettività e inversa. Errore tipico: Pensare che basti essere iniettiva o solo suriettiva per avere l’inversa.
Che cosa vuol dire che una funzione è pari o dispari?

Una funzione è pari se il valore in meno x è uguale al valore in x, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. È dispari se il valore in meno x è l’opposto del valore in x, quindi il grafico ha simmetria rispetto all’origine. Queste proprietà si controllano solo se il dominio è simmetrico rispetto a zero.

Cosa vuole sentire: Vuole la definizione e il significato geometrico delle simmetrie. Errore tipico: Dire che pari significa positiva e dispari significa negativa, oppure dimenticare la condizione sul dominio.
Che cosa significa che una funzione è crescente o decrescente?

Una funzione è crescente se, aumentando x, aumentano anche i valori della funzione. È decrescente se, aumentando x, i valori della funzione diminuiscono. Questo si legge bene dal grafico guardando l’andamento da sinistra verso destra.

Cosa vuole sentire: Vuole che tu sappia descrivere l’andamento della funzione in modo corretto. Errore tipico: Scambiare il verso della crescita con il segno dei valori della funzione.
Che cos’è la composizione di due funzioni?

La composizione consiste nel prendere il risultato della prima funzione e usarlo come input della seconda. Si scrive prima una funzione e poi l’altra, ma la lettura vera è dall’interno verso l’esterno. Non sempre è possibile: bisogna controllare che i valori prodotti dalla prima appartengano al dominio della seconda.

Cosa vuole sentire: Vuole il meccanismo della composizione e il controllo di compatibilità. Errore tipico: Fare l’errore di invertire l’ordine o di non controllare i domini.
Quando esiste l’inversa di una funzione?

L’inversa esiste se la funzione è biiettiva, perché così ogni valore di arrivo corrisponde a uno e un solo valore di partenza. L’inversa scambia il ruolo di dominio e codominio e, dal punto di vista grafico, il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta che biseca il primo quadrante. È un modo per ‘annullare’ l’effetto della funzione iniziale.

Cosa vuole sentire: Vuole che tu sappia il legame tra biiettività, scambio dei ruoli e grafico dell’inversa. Errore tipico: Dire che ogni funzione ha inversa, oppure confondere l’inversa con l’opposto.
Quali trasformazioni del grafico devi saper riconoscere?

Devi saper riconoscere traslazioni, simmetrie e dilatazioni. Una traslazione sposta il grafico, una simmetria lo ribalta rispetto a un asse o all’origine, e una dilatazione lo allarga o lo stringe. L’idea importante è che la forma generale resta, ma cambia la posizione o la scala.

Cosa vuole sentire: Vuole che tu colleghi la regola al cambiamento del grafico. Errore tipico: Dire solo che il grafico ‘si sposta’ senza distinguere i diversi tipi di trasformazione.
Come capisci dal grafico se una funzione è iniettiva o se può avere inversa?

Dal grafico controlli se ogni retta orizzontale incontra il grafico al massimo una volta: se sì, la funzione è iniettiva. Se inoltre il grafico copre tutto il codominio scelto, allora è biiettiva e quindi ha inversa. Questo criterio visivo è molto utile nelle verifiche.

Cosa vuole sentire: Vuole un collegamento tra definizione algebrica e lettura grafica. Errore tipico: Usare il grafico in modo generico senza citare il test della retta orizzontale.
Come colleghi le funzioni al calcolo e alla geometria analitica?

Le funzioni sono il linguaggio con cui descrivi le curve nel piano cartesiano, quindi servono per studiare rette, parabole e altri grafici. In geometria analitica leggi il comportamento della curva come funzione di x, mentre nel calcolo analizzi variazioni, simmetrie e composizioni. È un argomento di base che poi torna in molti temi successivi.

Cosa vuole sentire: Vuole un collegamento disciplinare chiaro e sensato. Errore tipico: Fare un collegamento troppo generico, senza dire che la funzione descrive il grafico nel piano.

Fatti interrogare sulle funzioni. Skoo ti fa queste domande a voce, ti incalza se sei vago, ti lascia finire il ragionamento e alla fine ti dà voto e pagella sui quattro criteri, con le frasi che hai detto davvero. I primi 30 minuti sono gratis, senza carta. Inizia l'interrogazione sulle funzioni

Le risposte vaghe che non passano

«Una funzione è una cosa che mette in relazione due insiemi.»: Meglio: Una funzione è una corrispondenza che a ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio.
«Iniettiva vuol dire che non si ripete.»: Meglio: Iniettiva vuol dire che immagini diverse corrispondono a elementi diversi del dominio, quindi due punti distinti non hanno la stessa immagine.
«L’inversa è semplicemente la funzione opposta.»: Meglio: L’inversa esiste solo per funzioni biiettive e scambia dominio e codominio, invertendo il ruolo di ingresso e uscita.

I collegamenti che fanno salire il voto

Geometria analitica — grafici di rette e parabole. Le funzioni servono a descrivere le curve nel piano cartesiano e a studiarne l’andamento.
Algebra — equazioni e disequazioni. Dominio, zeri e segno di una funzione si collegano direttamente alla risoluzione di equazioni e disequazioni.
Fisica — leggi orarie e grandezze dipendenti. In fisica una grandezza spesso dipende da un’altra, e questa dipendenza si descrive con una funzione.

Come ti valuta la pagella sulle funzioni

Un'interrogazione si valuta su quattro criteri. Ecco cosa fa la differenza in questo argomento:

Criterio	Cosa fa la differenza qui
Conoscenza dei contenuti	Fa la differenza saper dare definizioni precise e distinguere bene dominio, codominio, immagine, iniettiva, suriettiva e biiettiva.
Correttezza espositiva e lessico specifico	Conta molto parlare con ordine: prima definizione, poi significato sul grafico, poi esempio semplice.
Capacità di analisi e collegamenti	Il voto sale se sai leggere un grafico e capire subito simmetrie, monotonia, composizione e possibilità dell’inversa.
Autonomia nell'argomentare	Vai meglio se sai giustificare da solo perché una funzione ha o non ha una certa proprietà, senza aspettare sempre il suggerimento del prof.

Criterio

Cosa fa la differenza qui

Conoscenza dei contenuti

Fa la differenza saper dare definizioni precise e distinguere bene dominio, codominio, immagine, iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Correttezza espositiva e lessico specifico

Conta molto parlare con ordine: prima definizione, poi significato sul grafico, poi esempio semplice.

Capacità di analisi e collegamenti

Il voto sale se sai leggere un grafico e capire subito simmetrie, monotonia, composizione e possibilità dell’inversa.

Autonomia nell'argomentare

Vai meglio se sai giustificare da solo perché una funzione ha o non ha una certa proprietà, senza aspettare sempre il suggerimento del prof.

Domande frequenti

Da dove parto se mi interrogano sulle funzioni?: Parti dalla definizione, poi passa a dominio e codominio, e solo dopo alle proprietà e al grafico.
Cosa devo ripassare se ho poco tempo?: Ripassa bene definizione, dominio, iniettiva-suriettiva-biiettiva, pari e dispari, e il criterio grafico della retta orizzontale.
Come posso collegare le funzioni ad altri argomenti?: Puoi collegarle ai grafici di geometria analitica, alle equazioni e alle disequazioni, oppure alle relazioni tra grandezze in fisica.

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